大数定律

定义

大数定律（Law of Large Numbers，LLN）是概率论的核心定理之一：随着独立试验次数趋于无穷，样本均值会以概率1收敛到总体期望值。形式化地，若 $X_1, X_2, ...$ 是独立同分布随机变量，期望为 $\mu$，方差有限，则：

$$\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i \xrightarrow{P} \mu \quad \text{当} \quad n \to \infty$$

Jacob Bernoulli 是第一个严格证明大数定律的数学家。他证明在独立伯努利试验中（如抛硬币），随着试验次数增加，观察到的频率越来越接近理论概率。这是概率论作为一门严格数学学科的开端。

200年来，数学家普遍认为大数定律需要一个关键前提：事件必须独立。如果事件之间存在依赖关系（如前一个结果影响后一个），则平均结果不会收敛到期望值。

Nekrasov 利用这一点论证：社会统计数据（如结婚率、犯罪率）遵循大数定律，因此底层的人类决策必定是独立的——而独立决策即是"自由意志"的体现。

Andrei Markov 证明这是错误的。Markov 分析《叶甫盖尼·奥涅金》的字母序列，发现字母出现存在明显依赖（辅音后更可能出现元音，元音后更可能出现辅音），但整体频率依然收敛——系统依然服从大数定律。这说明依赖性不等于非概率性。

Markov 的证明：即使在非独立系统中，只要满足特定结构（马尔可夫链），系统依然可以收敛。独立不是大数定律的必要条件，Nekrasov 用大数定律为"自由意志"辩护的做法在数学上是站不住脚的。